已知函数 （1）、判断函数 的奇偶性，并给予证明 （2）若函数 的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围

已知函数 （1）、判断函数 的奇偶性，并给予证明 （2）若函数 的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围

好的，我们一步步来分析这个题目。

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1. 原题回顾

题目给出函数：

$$f(x) = x + \frac{1}{x}$$

（因为题中写“已知函数 （1）、判断函数 的奇偶性，并给予证明”，这里括号可能丢失了函数表达式，但常见此类题第一问是 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ 的奇偶性判断，第二问是与某个函数图像有一个公共点，可能是 $y = m$ 水平线，也可能是其他函数，但常考“水平线 $y = m$ 与 $f(x)$ 图像只有一个公共点”。这里我推测第二问是：
“若函数 $y = f(x)$ 与 $y = m$ 的图像有且仅有一个公共点，求实数 $m$ 的取值范围”。）

为了准确，我确认一下：第二问应是函数 $y = f(x)$ 与 某直线 有一个交点。常见题是水平线 $y = m$。
如果题中是 与直线 $y = m$ 有且仅有一个公共点，则：

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2. 第一问：奇偶性判断

已知：

$$f(x) = x + \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$$

判断奇偶性

定义域： $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，关于原点对称。

检验：

$$f(-x) = (-x) + \frac{1}{(-x)} = -x - \frac{1}{x} = -\left( x + \frac{1}{x} \right) = -f(x)$$

所以 $f(x)$ 是 奇函数。

证明：由上推导，对任意 $x \neq 0$，$f(-x) = -f(x)$，因此 $f$ 是奇函数。

$$\boxed{\text{奇函数}}$$

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3. 第二问：与 $y = m$ 的图像只有一个公共点

函数：

$$f(x) = x + \frac{1}{x}$$

图像是双曲线（对勾函数）。

3.1 分析 $f(x)$ 的单调性与值域

导数：

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = \pm 1$。

当 $x > 0$：

$0 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，递减

$x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，递增

极小值点 $x = 1$ 时，$f(1) = 2$

 

当 $x < 0$：

$-1 < x < 0$ 时，$f'(x) < 0$，递增（因为 $x$ 由负向 0 增加时，函数值增大）
我们来严格看符号：若 $x<0$，设 $x=-t, t>0$，其实可以通过对称性得到，也可以用导数直接分析：
对 $x<0$，$f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2}$ 当 $x^2 <1$ 即 $-1<x<0$ 时，分子 $x^2 - 1 < 0$，分母 $>0$，所以 $f'(x)<0$。注意此时 $x$ 增大（例如从 -0.9 到 -0.1），$f'(x)<0$ 意味着函数值随 $x$ 增大而减小（在 $x<0$ 部分）。实际上在 $(-1,0)$ 上，函数值是从 $f(-1) = -2$ 减小到 $f(0^-) = -\infty$？不对，检查：
$f(-0.5) = -0.5 -2 = -2.5$，确实比 $f(-1)=-2$ 小，所以随 $x$ 增大（-1 → 0⁻）函数值下降。
所以在 $x<0$ 部分：
$x\in(-\infty,-1)$ 时，$f'(x)>0$ 函数递增（从 $-\infty$ 增到 -2），
$x\in(-1,0)$ 时，$f'(x)<0$ 函数递减（从 -2 减到 $-\infty$）。

 

所以局部极值：

当 $x=1$ 处，极小值 $2$

当 $x=-1$ 处，极大值 $-2$（因为在 $x<0$ 上，$x=-1$ 是极大点）

值域：

$$f(x) \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$

3.2 与水平线 $y = m$ 的交点数

方程：

$$x + \frac{1}{x} = m \implies x^2 - m x + 1 = 0$$

判别式：

$$\Delta = m^2 - 4$$

实数解要求 $\Delta \ge 0$ 且 $x \neq 0$（自动满足，因为代入原方程会出现 $1/x$ 项）。

若 $|m| > 2$ 即 $m>2$ 或 $m<-2$，则 $\Delta>0$，方程有两个不同的实数解 $x_1, x_2$，并且 $x_1 x_2 = 1$。当 $m>2$ 时，两解都为正，所以交点为 2 个。当 $m < -2$ 时，两解都为负，也是 2 个交点。

若 $|m| = 2$ 即 $m=2$ 或 $m=-2$，则 $\Delta=0$，有重根：

$m=2$：重根 $x=1$，交点为 $(1,2)$，一个交点（$x\neq 0$ 且唯一）。

$m=-2$：重根 $x=-1$，交点 $(-1,-2)$，一个交点。

 

若 $|m|<2$ 即 $-2<m<2$，则 $\Delta<0$，无实根，交点数为 0。

但题目要求 有且仅有一个公共点，所以对应 $m=2$ 或 $m=-2$（因为双曲线两支各在 $m>2$ 时两个交点；$m<-2$ 时也两个交点；$|m|=2$ 时，图形与直线相切于一支顶点，另一支无交点，因为该顶点在局部极值点）。

验证：
当 $m=2$：方程 $x+1/x=2$ 解为 $x=1$（二重根），另一个解？它就是 $x=1$ 一个解（因为 $x\neq 0$），所以与 $y=2$ 只交于点 $(1,2)$，与左边一支（$x<0$）无交点，因为 $f(x)\le -2$ 在 $x<0$ 部分，最小值 -2 达不到 2。所以只有 1 交点。
当 $m=-2$：方程 $x+1/x=-2$ 解为 $x=-1$（二重根），与右边一支（$x>0$）无交点，因为 $f(x)\ge 2$ 在 $x>0$ 部分。所以只有 1 交点。

所以 只有一个公共点 的 $m$ 为：

$$m = 2 \quad \text{或} \quad m = -2$$

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4. 答案整理

$$\boxed{2 \text{ 或 } -2}$$

即

$$m \in \{-2, 2\}$$

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如果需要更详细的图像解释，我可以画出示意图。