已知抛物线 （ 且 为常数）， 为其焦点． （1）写出焦点 的坐标； （2）过点 的直线与抛物线相交于 两点，且 ，求直线 的斜率； （3）若线段 是过抛物线焦点 的两条动弦，且满足 ，如图所示．求四

已知抛物线 （ 且 为常数）， 为其焦点． （1）写出焦点 的坐标； （2）过点 的直线与抛物线相交于 两点，且 ，求直线 的斜率； （3）若线段 是过抛物线焦点 的两条动弦，且满足 ，如图所示．求四边形 面积的最小值 ．

好的，我们逐步推理。

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（1）焦点 $F$ 的坐标

抛物线方程是

$$y^2 = 2p(x + a), \quad p>0$$

标准形式 $y^2 = 2p(x + a)$ 可以理解为顶点在 $(-a, 0)$，开口向右的抛物线。
对于 $y^2 = 2p X$，焦点在 $\left( \frac{p}{2},\, 0\right)$ 其中 $X = x + a$。

即：

$$x + a = \frac{p}{2} \quad\text{对应焦点在} X\text{坐标轴}$$

所以在 $x$ 坐标：

$$x_F = -a + \frac{p}{2}, \quad y_F = 0.$$

因此：

$$\boxed{F\left( \frac{p}{2} - a,\ 0 \right)}$$

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（2）过点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $P,Q$ 两点，且 $|\overrightarrow{PF}| = 4|\overrightarrow{QF}|$

∣=4∣QF

∣，求斜率

设直线 $PQ$ 过焦点 $F$，设其方程为（参数化更方便）：

设直线倾斜角为 $\theta$，则参数形式：

$$x = x_F + t\cos\theta, \quad y = 0 + t\sin\theta.$$

这里 $t$ 是从 $F$ 出发的有向长度，到 $P$ 的 $t = t_1 > 0$，到 $Q$ 的 $t = t_2 < 0$（如果两点在焦点两侧），但题给 $|\overrightarrow{PF}| = 4|\overrightarrow{QF}|$

∣=4∣QF

∣ 意味着 $\overrightarrow{PF}$

与 $\overrightarrow{QF}$

同向还是反向？
这里写 $|\overrightarrow{PF}| = 4 |\overrightarrow{QF}|$

∣=4∣QF

∣，只是长度比，没说方向相同，因此 $P$ 和 $Q$ 可能在 $F$ 的两侧也可能在同侧。但过 $F$ 的直线与抛物线一般交于两点在 $F$ 的两侧（如果F在抛物线内部，即 $F$ 在开口内，则的确直线与抛物线交两点在F两侧）。

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交点的 $t$ 满足抛物线方程：

抛物线方程： $y^2 = 2p(x+a)$
代入参数方程：

$$(t\sin\theta)^2 = 2p\left[ \left(\frac{p}{2} - a\right) + a + t\cos\theta \right].$$

注意 $x_F + a = \frac{p}{2} - a + a = \frac{p}{2}$。

所以：

$$(t\sin\theta)^2 = 2p\left( \frac{p}{2} + t\cos\theta \right).$$

即：

$$t^2 \sin^2\theta = p^2 + 2p t \cos\theta.$$

整理：

$$t^2 \sin^2\theta - 2p \cos\theta \cdot t - p^2 = 0.$$

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两根 $t_1, t_2$ 与 $PF, QF$ 的关系

从 $F$ 出发，$PF$ 对应 $t_1$，$QF$ 对应 $t_2$。
长度 $PF = |t_1|$，$QF = |t_2|$。已知 $PF = 4 QF$。

交点分别在 $F$ 两侧时，$t_1 t_2 < 0$，则 $t_1 > 0, t_2 < 0$，那么 $PF = t_1$，$QF = -t_2$。所以条件 $t_1 = 4 (-t_2) \Rightarrow t_1 = -4 t_2$。

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韦达定理：

$$t_1 + t_2 = \frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta},\quad t_1 t_2 = -\frac{p^2}{\sin^2\theta}.$$

由 $t_1 = -4t_2$ 代入：

$$-4t_2 + t_2 = -3 t_2 = \frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}$$$$t_2 = -\frac{2p\cos\theta}{3\sin^2\theta}.$$

又 $t_1 t_2 = (-4 t_2) t_2 = -4 t_2^2 = -\frac{p^2}{\sin^2\theta}$。

所以：

$$4 t_2^2 = \frac{p^2}{\sin^2\theta} \implies t_2^2 = \frac{p^2}{4\sin^2\theta}.$$

而上面 $t_2$ 表达式平方：

$$t_2^2 = \frac{4p^2\cos^2\theta}{9\sin^4\theta}.$$

因此：

$$\frac{4p^2\cos^2\theta}{9\sin^4\theta} = \frac{p^2}{4\sin^2\theta}.$$

消去 $p^2$（$p>0$），

$$\frac{4\cos^2\theta}{9\sin^4\theta} = \frac{1}{4\sin^2\theta}.$$$$\frac{4\cos^2\theta}{9\sin^2\theta} = \frac14.$$$$16\cos^2\theta = 9\sin^2\theta \implies 16\cos^2\theta = 9(1 - \cos^2\theta) \implies 25\cos^2\theta = 9.$$$$\cos^2\theta = \frac{9}{25} \implies \cos\theta = \pm \frac{3}{5}.$$

所以 $\tan\theta = \pm \frac{4}{3}$。

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斜率 $k = \tan\theta = \pm \frac{4}{3}$。

答案（2）：

$$\boxed{\pm \frac{4}{3}}$$

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（3）若 $AB, CD$ 是过焦点 $F$ 的两条动弦，且满足 $AB \perp CD$，求四边形 $ACBD$ 面积最小值

设 $AB$ 斜率 $k$，则 $CD$ 斜率 $-\frac{1}{k}$（垂直）。

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抛物线的极坐标/参数法较方便

焦点在原点建立新坐标：令 $X = x - \left(\frac{p}{2} - a\right)$，$Y = y$，则抛物线方程变为：
原方程 $y^2 = 2p(x + a)$，代入 $x = X + \frac{p}{2} - a$：

$$Y^2 = 2p\left( X + \frac{p}{2} - a + a\right) = 2p\left( X + \frac{p}{2} \right).$$

顶点在 $X = -\frac{p}{2}$，焦点 $F$ 在 $X=0, Y=0$ 处。

用圆锥曲线极坐标形式（以 $F$ 为极点，$X$ 轴正向为极轴）：
对于开口向右的抛物线 $y^2 = 2p(x + a)$，焦点在 $F$，极坐标方程：

$$r = \frac{p}{1 - \cos\phi}?$$

检查：从 $y^2 = 2p(x + a)$，焦点在 $(p/2 - a, 0)$。以 $F$ 为原点的坐标 $(X,Y)$：
$X = x - (p/2 - a)$，则原方程：
$Y^2 = 2p[ X + p/2 - a + a] = 2p(X + p/2)$。
顶点在 $X = -p/2$。

因为焦点到准线距离 = $p$，准线在 $X = -p/2$？ 先求准线在原坐标系：原抛物线顶点 $(-a,0)$，开口右，准线 $x = -a - p/2$。

焦点 $(p/2 - a, 0)$，则焦点到准线距离：

$$(p/2 - a) - (-a - p/2) = p/2 - a + a + p/2 = p.$$

正确。

所以极坐标 $r = \frac{p}{1 - \cos\phi}$，这里 $\phi$ 是 $FX$ 与 $X$ 轴正向夹角，即对于 $y^2 = 2p(x + a)$，开口向右时，焦点在原点，方程为 $r = \frac{p}{1 - \cos\phi}$ 要小心符号：因为当 $\phi=0$ 时射线沿 $X$ 轴正向，$r = p/(1-1)$ 无穷大，那是沿轴向右出去交抛物线于无穷远？显然不对——这反而是沿轴向左才交抛物线。

实际上，对抛物线 $y^2 = 4ax$ 焦点为原点，极坐标 $r = \frac{2a}{1-\cos\theta}$? 我们回忆：对于开口向右的抛物线，顶点在原点时，焦点 $(a,0)$，设 $r, \theta$ 为极坐标（极点焦点），方程 $r = \frac{a}{1-\cos\theta}$? 检查：$\theta = \pi$ 时 $r = a/(1-(-1)) = a/2$，这是顶点？不对。让我们推导：

已知：顶点在原点的抛物线 $y^2 = 4a X$，焦点在 $(a,0)$，极坐标以焦点为原点，则 $X = r\cos\theta + a$，$Y = r\sin\theta$，代入 $Y^2 = 4a X$：

$$r^2\sin^2\theta = 4a(r\cos\theta + a).$$$$r^2\sin^2\theta - 4a r\cos\theta - 4a^2 = 0.$$

解出 $r$：

$$r = \frac{4a\cos\theta + \sqrt{16a^2\cos^2\theta + 16a^2\sin^2\theta}}{2\sin^2\theta} = \frac{4a\cos\theta + 4a}{2\sin^2\theta}= \frac{2a(\cos\theta + 1)}{\sin^2\theta}.$$

=2sin2θ4acosθ+4a=sin2θ2a(cosθ+1).

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X+2p

=

rcosϕ+2p

.

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面积计算

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因为对角线垂直。

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面积

此时：

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所以：

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最终答案：