判断向量组线性相关性的方法1)一个向量 线性相关 ;2)含有零向量的向量组必线性相关;3)向量个数=向量维数时,n维向量组 线性相关 。4)向量个数〉向量维数时, 向量组必线性相关;5)部分相关,则整

判断向量组线性相关性的方法1)一个向量 线性相关 ;2)含有零向量的向量组必线性相关;3)向量个数=向量维数时,n维向量组 线性相关 。4)向量个数〉向量维数时, 向量组必线性相关;5)部分相关,则整体必相关;(整体无关,则部分必无关).6)若向量组线性无关,则其接长向量组必线性无关;7)向量组线性无关 向量组的秩=所含向量的个数,向量组线性相关 向量组的秩<所含向量的个数;8)向量组 线性相关(无关)的充分必要条件是齐次方程组 有(没有)非零解.例7.设 维向量组 线性无关,则 A. 组中减少任意一个向量后仍线性无关 B. 组中增加任意一个向量后仍线性无关 C. 存在不全为零的数 ,使 D. 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出

好，我们先回顾已知条件与选项，逐步推理。

已知条件

n 维向量组

题目只写：n 维向量组 线性无关。
通常这种说法下，向量个数 $m \le n$，否则 n 维向量个数多于 n 时必然线性相关，就不可能出现无关的情况。
但题中没有给 m 与 n 的大小，不过既然已知它们线性无关，就一定有 m ≤ n，且秩 = m。

选项分析

A. 组中减少任意一个向量后仍线性无关
减少一个向量得到 m-1 个向量，这些向量仍线性无关吗？
从无关向量组中任取一部分，必然无关（性质：整体无关 ⇒ 部分无关），所以 A 正确。

B. 组中增加任意一个向量后仍线性无关
增加任意一个向量（n 维），这个新向量可能已经可由原向量组线性表示，从而新向量组变成线性相关。
如果 m = n，任意添加一个 n 维向量必可由这 n 个无关的向量（构成基）线性表示，从而相关。
如果 m < n，也可能添加一个与它们无关的向量吗？有可能，但不能保证“任意”添加一个都无关，所以 B 错误。

C. 存在不全为零的数 $k_1, \dots, k_m$，使

线性无关的定义正是：只有当 $k_1 = \dots = k_m = 0$ 时上式才成立。
所以不存在不全为零的数使上式成立。
C 说存在不全为零的数使等式成立，这与线性无关矛盾。
C 错误。

D. 组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出
这是线性相关的定义，不是无关的性质。无关 ⇒ 任一向量都不能由其余向量线性表出（除非系数全零的平凡表示）。
所以 D 错误。

结论

只有 A 正确。

最终答案：