皮亚诺曲线是一条填满正方形的曲线，那么它的相似维数是多少呢？ A. 1； B. 2； C. 3； D. ln4/ln3。

皮亚诺曲线是一条填满正方形的曲线，那么它的相似维数是多少呢？ A. 1； B. 2； C. 3； D. ln4/ln3。

皮亚诺曲线是一个能填满正方形的平面曲线，因此它不再是传统的一维曲线。

维数的计算方式（相似维数）
对于自相似图形，相似维数的公式为：

其中 $N$ 是放大 $r$ 倍后得到的小相似图形的个数。

对于经典的皮亚诺曲线（例如以希尔伯特曲线为例）：

把正方形分成 $n \times n$ 个小正方形（例如 $n=3$ 时的某种构造，希尔伯特曲线是 $n=2$ 的另一种，但皮亚诺曲线原始版本可能是分成 $3\times 3$ 更复杂？实际常见的皮亚诺曲线构造比如皮亚诺最初给出的一个版本是：将单位区间映射到单位正方形，通过一个递归过程，每次把区间 9 等分，正方形分成 3×3 个小正方形，曲线经过这 9 个小正方形，每个小正方形内的路径是原曲线的相似缩小版本（比例为 $1/3$ 边长）。

确定 $N$ 与 $r$
该曲线在生成过程中：
每次把当前尺度正方形分成 3 × 3 = 9 个小正方形（边长缩小为 $1/3$）。
这样在相似维数定义中：
长度缩放 $r = 3$，得到的小相似图形数量 $N = 9$（因为每一步的曲线由 9 段缩小 3 倍的曲线构成，并且这 9 段在迭代极限下能覆盖正方形）。

相似维数：

为什么填满正方形会是 2 维？
因为相似维数在这里等于它的覆盖维数（盒子维数）等于 2，也就是说虽然它是一根连续曲线，但极限形状是一个正方形区域，它的分形维数是 2，与正方形相同。

因此正确选项是 B. 2。

不过这里有个陷阱：题干给的选项 D 是 $\ln 4 / \ln 3 \approx 1.26$，那是科赫曲线的维数，不是皮亚诺曲线。可能故意用相似维数公式来考查区分不同分形。

确认：常见皮亚诺曲线（比如 Hilbert 曲线，用 4 个 $1/2$ 缩放的相似图形，维数是 2），不过希尔伯特曲线 $r=2, N=4$，维数也是 2。
皮亚诺原始构造（1890）用的是九宫格方式，也是 9 个小相似图形，比例 1/3，维数还是 2。

所以答案就是 B。

最终答案：