有一个盛有水的圆柱体玻璃容器,它的底面半径为10cm,容器内水的高度为12cm,把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中,容器里的水升高了( ) A. 2cm B. 1.5cm C. 1cm D. 0.

有一个盛有水的圆柱体玻璃容器,它的底面半径为10cm,容器内水的高度为12cm,把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中,容器里的水升高了( ) A. 2cm B. 1.5cm C. 1cm D. 0.5cm

我们逐步推理一下。

1. 已知数据：

容器半径 $R = 10 \, \text{cm}$

初始水高度 $h_0 = 12 \, \text{cm}$

玻璃棒半径 $r = 2 \, \text{cm}$

玻璃棒垂直插入水中后，水面会上升。

求水面上升的高度 $\Delta h$ 。

2. 水的体积不变：

初始水的体积：

V_0 = \pi R^2 h_0 = \pi (10)^2 \times 12 = 1200\pi \, \text{cm}^3

3. 插入玻璃棒后的情况：

设插入棒后水面高度为 $h_f = h_0 + \Delta h = 12 + \Delta h$ （单位 cm）。

容器底面积： $\pi R^2 = 100\pi$

玻璃棒截面积： $\pi r^2 = \pi \times 4 = 4\pi$

插入棒后，水实际占的横截面积 = 容器底面积－棒截面积：

A = 100\pi - 4\pi = 96\pi

水占的横截面积为 $96\pi$ cm²，此时这些面积乘以高度 $h_f$ 应等于原来水的体积（因为棒是不吸水的固体，水被挤到棒周围的环形空间里）。

4. 根据体积不变列方程：

原来水体积 $V_0 = 1200\pi$
插入棒后水体积 = $A \times h_f = 96\pi \times h_f$

所以：

96\pi \times h_f = 1200\pi

96 h_f = 1200

h_f = \frac{1200}{96} = 12.5 \, \text{cm}

5. 水面上升高度：

\Delta h = h_f - h_0 = 12.5 - 12 = 0.5 \, \text{cm}

6. 答案：

\boxed{D}