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函数 在点 可导的充分必要条件是 A. 左导数存在 B. 右导数存在 C. 左导数和右导数都存在 D. 左导数和右导数都存在且相等

更新时间:2026-05-30 16:25:10   栏目: 中华词典

函数 在点 可导的充分必要条件是 A. 左导数存在 B. 右导数存在 C. 左导数和右导数都存在 D. 左导数和右导数都存在且相等

我们要判断函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 可导 的充分必要条件。

1. 回忆定义：
函数在 x0x_0 可导，是指导数

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

存在且有限。
这个极限存在要求 左极限 与 右极限 都存在且相等。

2. 左右导数的定义：
左导数：

f−′(x0)=limh→0−f(x0+h)−f(x0)hf'_{-}(x_0) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

右导数：

f+′(x0)=limh→0+f(x0+h)−f(x0)hf'_{+}(x_0) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

3. 逻辑关系：

f′(x0) 存在⟺f−′(x0) 存在 且 f+′(x0) 存在 且 f−′(x0)=f+′(x0)f'(x_0) \text{ 存在} \quad \Longleftrightarrow \quadf'_{-}(x_0) \text{ 存在 且 } f'_{+}(x_0) \text{ 存在 且 } f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)

仅左导数存在（A），不充分，因为右导数可能不存在或不相等。

仅右导数存在（B），同理不充分。

左右导数都存在（C），不充分，因为可能左右导数不相等（例子：f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0 处）。

左右导数都存在且相等（D）等价于导数存在，这就是充分必要条件。

4. 答案选择：
正确选项为 D。

D\boxed{D}

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