无穷大乘以无穷小，还是无穷小。() A. 正确 B. 错误-中华词典

无穷大乘以无穷小，还是无穷小。() A. 正确 B. 错误

更新时间:2026-06-14 07:39:54 栏目: 中华词典

无穷大乘以无穷小，还是无穷小。() A. 正确 B. 错误

我们先分析一下这个问题。

1. 题意理解
“无穷大”符号上是指极限趋于无穷大的函数（或变量），“无穷小”是指极限趋于 0 的函数（或变量）。
题中说 无穷大 × 无穷小 = 无穷小，意思是不是对所有情况都成立，而是作为一般命题判断对错。

2. 举例检验

例 1： $n \to \infty$ ，取 $a_n = n$ （无穷大）， $b_n = \frac{1}{n}$ （无穷小）。

a_n \times b_n = n \times \frac{1}{n} = 1 \quad\text{(常数，不是无穷小)}。

例 2： $a_n = n^2$ ， $b_n = \frac{1}{n}$

a_n \times b_n = n \to \infty \quad\text{(无穷大，不是无穷小)}。

例 3： $a_n = n$ ， $b_n = \frac{1}{n^2}$

a_n \times b_n = \frac{1}{n} \to 0 \quad\text{(无穷小)}。

例 4： $a_n = n$ ， $b_n = \frac{(-1)^n}{n}$

a_n \times b_n = (-1)^n \quad\text{(不收敛，不是无穷小)}。

3. 结论
无穷大乘以无穷小的极限可能为无穷小、常数、无穷大，或者没有极限（振荡）。
因此，命题 “无穷大乘以无穷小，还是无穷小” 并不是总是成立，作为一般性结论是错误的。

\boxed{B}