狄利克雷函数在其定义域上任意一点的极限都存在。 A. 正确 B. 错误

狄利克雷函数在其定义域上任意一点的极限都不存在，答案为 B. 错误。

狄利克雷函数的定义为：当 $x$ 为有理数时 $D(x) = 1$，当 $x$ 为无理数时 $D(x) = 0$，其定义域为全体实数 $\mathbb{R}$。根据函数极限的定义，若 $\lim_{x \to x_0} D(x)$ 存在，则对任意趋近于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，$\{D(x_n)\}$ 都应收敛于同一常数。

但对任意实数 $x_0$，总存在有理数列 $\{a_n\}$ 和无理数列 $\{b_n\}$，使得 $\lim_{n \to \infty} a_n = x_0$ 且 $\lim_{n \to \infty} b_n = x_0$。此时 $D(a_n) = 1$（恒为1），而 $D(b_n) = 0$（恒为0），即 $\lim_{n \to \infty} D(a_n) = 1$ 且 $\lim_{n \to \infty} D(b_n) = 0$。由于 $1 \neq 0$，根据海涅归结原则，$\lim_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。

这一结论对所有 $x_0 \in \mathbb{R}$ 均成立，因此狄利克雷函数在定义域内任意点处的极限都不存在。

数学中，这种“在任意区间内同时稠密分布着两类取值”的特性，使得狄利克雷函数成为“处处有定义但处处不连续、处处极限不存在”的典型反例，深刻揭示了函数连续性与极限存在性对“局部保号性”的依赖。