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数列收敛的充要条件是其奇偶子数列都收敛。（ ） A. 正确 B. 错误

更新时间:2026-06-17 20:23:40   栏目: 中华词典

数列收敛的充要条件是其奇偶子数列都收敛。（ ） A. 正确 B. 错误

数列收敛的充要条件是其所有子列收敛且极限相同，而非仅奇偶子数列收敛。题目表述遗漏了极限必须相等的关键条件，因此答案为B. 错误。

根据子列收敛理论，原数列收敛的严格充要条件是“所有子列收敛且极限唯一”。奇偶子数列仅为无穷多子列中的两类，若它们收敛但极限不同（例如数列 xn=(−1)n 的奇子列极限为-1，偶子列极限为1），原数列显然发散。反之，若原数列收敛，则其所有子列（包括奇偶子列）必收敛于同一极限，这表明“奇偶子列收敛且极限相等”是原数列收敛的必要条件，但仅有收敛性而无等极限性则不充分。

从数学分析角度看，该命题混淆了“子列收敛”与“子列极限一致”的概念。正确结论应表述为：数列收敛的充要条件是其奇偶子数列均收敛且极限相等。这一细节在考研数学和数学分析中具有重要意义，例如2022年考研数学试题就曾涉及类似概念辨析。

思考：若一个数列的奇子列和偶子列分别收敛于不同极限，该数列是否可能有界？（提示：考虑震荡数列的性质）

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