质量为m的质点，其矢径的变化规律为r=xi+yj+zk，其中i、j、k为沿固定直角坐标轴的单位矢量，x、y、z为时间的已知函数。试给出动能、动量、对坐标原点O的动量矩、质点承受的力以及该力的功率的表达-中华词典

质量为m的质点，其矢径的变化规律为r=xi+yj+zk，其中i、j、k为沿固定直角坐标轴的单位矢量，x、y、z为时间的已知函数。试给出动能、动量、对坐标原点O的动量矩、质点承受的力以及该力的功率的表达

更新时间:2026-05-30 20:45:34 栏目: 中华词典

质量为m的质点，其矢径的变化规律为r=xi+yj+zk，其中i、j、k为沿固定直角坐标轴的单位矢量，x、y、z为时间的已知函数。试给出动能、动量、对坐标原点O的动量矩、质点承受的力以及该力的功率的表达式。

要解决该问题，需基于质点运动的矢径表达式 $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$ （其中 $x,y,z$ 为时间 $t$ 的函数），结合各物理量的定义推导表达式。核心思路是：先通过矢径对时间的导数得到速度和加速度，再依据动能、动量、角动量、力及功率的定义，结合矢量运算（叉积、点积）和牛顿定律进行推导。

1. 动能 $E_k$

动能定义为 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ ，其中 $v$ 为质点速率（速度矢量的模）。
速度矢量 $\boldsymbol{v} = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \dot{x}\boldsymbol{i} + \dot{y}\boldsymbol{j} + \dot{z}\boldsymbol{k}$ （ $\dot{x} = \frac{dx}{dt},\dot{y} = \frac{dy}{dt},\dot{z} = \frac{dz}{dt}$ 为速度分量）。
速率 $v = |\boldsymbol{v}| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$ ，故动能：
$E_k = \frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2\right)$

2. 动量 $\boldsymbol{p}$

动量定义为质量与速度矢量的乘积，即 $\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v}$。
将速度矢量代入得：
$\boldsymbol{p} = m\left(\dot{x}\boldsymbol{i} + \dot{y}\boldsymbol{j} + \dot{z}\boldsymbol{k}\right)$

3. 对原点 $O$ 的动量矩（角动量）$\boldsymbol{L}$

角动量定义为矢径 $\boldsymbol{r}$ 与动量 $\boldsymbol{p}$ 的叉积，即 $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$。
在直角坐标系中，叉积可按行列式展开：

$\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\x & y & z \\p_x & p_y & p_z\end{vmatrix} $$ 将 $ p_x = m\dot{x}, p_y = m\dot{y}, p_z = m\dot{z} $ 代入，得： $$ \boldsymbol{L} = m\left[(y\dot{z} - z\dot{y})\boldsymbol{i} + (z\dot{x} - x\dot{z})\boldsymbol{j} + (x\dot{y} - y\dot{x})\boldsymbol{k}\right] $$ ### 4. 质点承受的力 $ \boldsymbol{F} $由牛顿第二定律，力 $ \boldsymbol{F} = \frac{d\boldsymbol{p}}{dt} $。因 $ \boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} $，且 $