关于正交矩阵，下列叙述正确的是( ). A. 正交矩阵一定是可逆矩阵 B. 正交矩阵不一定可逆. C. 正交矩阵的行列式一定等于1. D. 正交矩阵的行列式一定等于 .-中华词典

关于正交矩阵，下列叙述正确的是( ). A. 正交矩阵一定是可逆矩阵 B. 正交矩阵不一定可逆. C. 正交矩阵的行列式一定等于1. D. 正交矩阵的行列式一定等于 .

更新时间:2026-06-17 20:33:21 栏目: 中华词典

关于正交矩阵，下列叙述正确的是( ). A. 正交矩阵一定是可逆矩阵 B. 正交矩阵不一定可逆. C. 正交矩阵的行列式一定等于1. D. 正交矩阵的行列式一定等于 .

正交矩阵的核心定义是满足 $A^T A = I$ （其中 $A^T$ 为转置矩阵， $I$ 为单位矩阵）的方阵。基于这一性质，可直接推导其关键特征：

可逆性分析

由定义 $A^T A = I$ 可知，正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵，即 $A^{-1} = A^T$ 。逆矩阵存在则矩阵必可逆，因此正交矩阵一定是可逆矩阵。

行列式分析

对等式 $A^T A = I$ 两端取行列式，有：
$\det(A^T A) = \det(I)$
由于 $\det(A^T) = \det(A)$，左侧可化为 $\det(A^T) \cdot \det(A) = [\det(A)]^2$，右侧 $\det(I) = 1$，故 $[\det(A)]^2 = 1$，解得 $\det(A) = \pm 1$。行列式不仅可能为1，也可能为-1，并非唯一确定。

选项判断

A. 正交矩阵一定是可逆矩阵：正确（逆矩阵为其转置）。

B. 正交矩阵不一定可逆：错误（逆矩阵 $A^T$ 恒存在）。

C. 正交矩阵的行列式一定等于1：错误（行列式可为±1）。

D. （表述不完整）：若为“行列式一定等于-1”同样错误，因行列式有两种可能取值。

正确答案：A

思考：若正交矩阵的行列式为-1，它在几何变换中代表什么？（提示：涉及反射变换）