初等矩阵的逆矩阵仍是__.-中华词典

初等矩阵的逆矩阵仍是__.

更新时间:2026-06-13 20:53:18 栏目: 中华词典

初等矩阵的逆矩阵仍是__.

初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵。这一结论可通过分析三类初等矩阵的逆矩阵形式得到验证：

交换两行/列的初等矩阵 $E_{ij}$
其逆矩阵等于自身，即 $E_{ij}^{-1} = E_{ij}$ 。因为对调两行后再次对调，矩阵会恢复原状。例如，交换单位阵第1、2行得到的初等矩阵，其逆矩阵仍是该矩阵本身。

数乘某行/列的初等矩阵 $E_i(k)$
其逆矩阵为 $E_i(1/k)$ ，即将该行元素乘以原常数的倒数。由于 $k \cdot (1/k) = 1$ ，这种操作能抵消原数乘效果，且结果仍为初等矩阵。例如，将第3行乘以5的初等矩阵，其逆矩阵是将第3行乘以1/5的初等矩阵。

倍加某行/列的初等矩阵 $E_{ij}(k)$
其逆矩阵为 $E_{ij}(-k)$ ，即把原操作中的倍数改为相反数。例如，将第2行加上第1行的3倍得到的初等矩阵，其逆矩阵是将第2行减去第1行的3倍的初等矩阵。

上述三类逆矩阵均符合“单位阵经一次初等变换”的定义，因此初等矩阵的逆矩阵必为初等矩阵。这一性质揭示了初等变换的可逆性：每种初等变换都存在对应的“逆变换”，且该逆变换同样是初等变换。思考：如果一个矩阵能表示为初等矩阵的乘积，它是否一定可逆？为什么？