将二重积分 交换积分次序正确的是( ) A. B. C. D. E. [知识点]交换二次积分次序。 F. 解析:新积分区域 。

二重积分交换积分次序的核心是通过重新描述积分区域，将原有的累次积分转换为更便于计算的形式。具体步骤包括确定积分区域、画出边界曲线、重新定义变量范围，最终得到新的积分表达式。以下结合实例说明这一过程：

一、交换积分次序的基本方法

确定原积分区域
根据给定的二次积分上下限，写出积分区域的不等式组。例如，若原积分为\(\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^1 \frac{\sin x}{x} dx\)，则积分区域\(D\)可表示为：
\(D = \{(x,y) \mid 0 \leq y \leq 1,\ \sqrt{y} \leq x \leq 1\}\)。

画出积分区域图形
通过边界曲线\(x = \sqrt{y}\)（即\(y = x^2\)）和\(x = 1\)，\(y = 0\)，可判断区域为由抛物线\(y = x^2\)、直线\(x = 1\)及\(x\)轴围成的曲边三角形。

重新定义积分变量范围
若改为先对\(y\)积分后对\(x\)积分，需确定\(y\)的范围由\(x\)表示。由\(y = x^2\)可知，\(y\)的下限为\(0\)，上限为\(x^2\)；\(x\)的范围为\(0 \leq x \leq 1\)。因此新的积分区域为：
\(D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x^2\}\)。

写出交换后的积分表达式
原积分可改写为：
\(\int_0^1 dx \int_0^{x^2} \frac{\sin x}{x} dy\)。

二、典型例题解析

例：交换积分\(\int_0^1 dy \int_{\arcsin \sqrt{y}}^{\pi - \arcsin \sqrt{y}} \frac{1}{\sin x} dx\)的次序。

原积分区域分析
边界曲线为\(x = \arcsin \sqrt{y}\)和\(x = \pi - \arcsin \sqrt{y}\)，\(y \in [0,1]\)。通过反函数变换可得\(y = \sin^2 x\)，其中\(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\)对应\(x = \arcsin \sqrt{y}\)，\(x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]\)对应\(x = \pi - \arcsin \sqrt{y}\)。

重新定义积分范围
当\(x \in [0, \pi]\)时，\(y\)的范围为\(0 \leq y \leq \sin^2 x\)。因此交换后的积分为：
\(\int_0^\pi dx \int_0^{\sin^2 x} \frac{1}{\sin x} dy\)。

简化计算
内层积分\(\int_0^{\sin^2 x} dy = \sin^2 x\)，故原积分化为\(\int_0^\pi \frac{\sin^2 x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \sin x dx = 2\)。

三、关键技巧与注意事项

代数法与几何法结合
当边界曲线复杂时（如含反三角函数），可通过方程变形（如\(\arcsin \sqrt{y} = x \Leftrightarrow y = \sin^2 x\)）确定新变量范围。

积分限的确定原则

后积变量的上下限为常数；

先积变量的上下限由后积变量表示。
例如，原积分\(\int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) dy\)交换后为\(\int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx\)，其中\(c = \min_{a \leq x \leq b} \varphi_1(x)\)，\(d = \max_{a \leq x \leq b} \varphi_2(x)\)。

 

对称性的应用
若积分区域关于\(y = x\)对称，可直接交换\(x\)与\(y\)的积分限，如。

四、总结

交换积分次序的本质是通过重新描述积分区域