【简答题】用斯托克斯公式计算沉降速率和最小颗粒粒径。

斯托克斯公式是计算球形颗粒在黏性流体中沉降行为的核心工具，其核心原理是通过力平衡推导出终端速度与颗粒粒径的关系。当颗粒在流体中沉降时，重力、浮力与黏性阻力达到平衡，此时颗粒以恒定的沉降速度运动，而该速度与颗粒半径的平方成正比。

一、沉降速度的计算

根据斯托克斯定律，当颗粒所受合力为零时（重力=浮力+阻力），沉降速度 $v$ 的公式为：
$v = \frac{2r^2g(\rho_p - \rho_f)}{9\mu}$
其中：

$r$ 为颗粒半径（m），$g$ 为重力加速度（$9.8 \, \text{m/s}^2$），

$\rho_p$ 为颗粒密度（kg/m³），$\rho_f$ 为流体密度（kg/m³），

$\mu$ 为流体黏度（Pa·s）。

示例：若水中某球形颗粒半径 $r = 5 \, \mu\text{m}$（即 $5 \times 10^{-6} \, \text{m}$），颗粒密度 $\rho_p = 2650 \, \text{kg/m}^3$（沙粒），水的密度 $\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$，黏度 $\mu = 0.001 \, \text{Pa·s}$（20℃时），则沉降速度为：
$v = \frac{2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 9.8 \times (2650 - 1000)}{9 \times 0.001} \approx 9.0 \times 10^{-5} \, \text{m/s}$
即约 $0.09 \, \text{mm/s}$，与实际沙粒沉降速度范围（0.01–0.1 m/s）相符。

二、最小颗粒粒径的计算

若已知沉降速度 $v$，可反推颗粒半径 $r$，进而得到最小粒径 $d = 2r$：
$r = \sqrt{\frac{9\mu v}{2g(\rho_p - \rho_f)}} \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{\frac{18\mu v}{g(\rho_p - \rho_f)}}$

工程应用：在降尘室设计中，最小可分离粒径（临界粒径 \(d_{pc}\)）需结合流体流量 \(q_{V_S}\)、设备尺寸（长 \(L\)、宽 \(W\)）计算。此时沉降速度 \(u_{tc} = \frac{q_{V_S}}{WL}\)，代入粒径公式得：
\(d_{pc} = \sqrt{\frac{18\mu q_{V_S}}{g(\rho_p - \rho_f)WL}}\)
例如，当气体流量 \(q_{V_S} = 1 \, \text{m}^3/\text{s}\)，降尘室长 \(L = 5 \, \text{m}\)、宽 \(W = 2 \, \text{m}\)，空气黏度 \(\mu = 1.8 \times 10^{-5} \, \text{Pa·s}\)，粉尘密度 \(\rho_p = 2000 \, \text{kg/m}^3\) 时，临界粒径约为 \(1.7 \, \mu\text{m}\)。

三、适用条件与限制

斯托克斯公式仅在 层流条件（雷诺数 ） 下成立，此时流体黏性力主导，惯性力可忽略<cite dat