函数y=lnsinx的导数为( ) A. sinx B. cosx C. tanx D. ctanx-中华词典

函数y=lnsinx的导数为( ) A. sinx B. cosx C. tanx D. ctanx

更新时间:2026-05-30 11:16:45 栏目: 中华词典

函数y=lnsinx的导数为( ) A. sinx B. cosx C. tanx D. ctanx

要计算函数 $y = \ln(\sin x)$ 的导数，需使用复合函数求导法则：若 $y = f(g(x))$ ，则 $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 。

分解复合函数：设内层函数 $u = \sin x$ ，则外层函数为 $y = \ln u$ 。

求外层函数导数： $\ln u$ 的导数是 $\frac{1}{u}$ ，即 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$ 。

求内层函数导数：$\sin x$的导数是$\cos x$，即$\frac{du}{dx} = \cos x$。

应用链式法则：

$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x}$

化简结果：$\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$，而选项中“ctanx”是“cotx”的另一种表示形式（余切函数）。

答案：D