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已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ） A. 2x±y=0 B. x±2y=0 C. 4x±3y=0 D. 3x±4y=0

更新时间:2026-06-14 09:40:25   栏目: 中华词典

已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ） A. 2x±y=0 B. x±2y=0 C. 4x±3y=0 D. 3x±4y=0

双曲线右焦点到左顶点的距离与到渐近线距离的2倍关系，可通过几何性质建立等式求解渐近线方程。对于焦点在x轴的双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0），右焦点为(c,0)，左顶点为(−a,0)，右焦点到左顶点距离为a+c；焦点到渐近线bx−ay=0的距离为b（由点到直线距离公式及c2=a2+b2推导得出）。

根据题意\(a+c=2b\)，结合\(c^2=a^2+b^2\)消去\(c\)：

\(\begin{align*}a+\sqrt{a^2+b^2}&=2b\\\sqrt{a^2+b^2}&=2b-a\\a^2+b^2&=4b^2-4ab+a^2\\3b^2&=4ab\\\frac{b}{a}&=\frac{4}{3}\end{align*}\)

故渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{3}x\)，即\(4x\pm3y=0\)。

本题关键在于利用双曲线基本量关系（\(c^2=a^2+b^2\)）和焦点到渐近线距离为\(b\)的结论，建立关于\(a,b\)的方程。若将条件改为“右焦点到右顶点距离等于到渐近线距离的2倍”，结论会如何变化？这提示我们需准确把握几何量的定义与位置关系。

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