证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。-中华词典

证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。

更新时间:2026-05-30 22:35:38 栏目: 中华词典

证明：同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。

要证明同轴电缆单位长度的静电储能 $W_e$ 的表达式，我们可以通过电场、势能和电荷来推导。

电容 $C$ 和电荷 $q_L$ 的关系：

C = \frac{q_L}{V}

其中 $V$ 是同轴电缆的单位长度的电压， $q_L$ 是单位长度上的电荷量。

静电储能 $W_e$ 的表达式为：

W_e = \frac{1}{2} C V^2

其中 $C$ 是电容， $V$ 是电压。

对于同轴电缆，设外导体的半径为 $R_2$ ，内导体的半径为 $R_1$ ，电介质的相对介电常数为 $\epsilon_r$ ，真空介电常数为 $\epsilon_0$ 。

电场 $E$ 的表达式为（在导体之间的电场）：

E(r) = \frac{q_L}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r r L}

其中， $r$ 是径向坐标， $L$ 是单位长度。

电压 $V$ 是由电场 $E$ 积分得到的，电压是从内导体到外导体的积分：

V = \int_{R_1}^{R_2} E(r) \, dr = \int_{R_1}^{R_2} \frac{q_L}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r r L} \, dr

积分后得到：

V = \frac{q_L}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L} \ln \frac{R_2}{R_1}

根据电容的定义 $C = \frac{q_L}{V}$ ，我们可以代入 $V$ 的表达式：

C = \frac{q_L}{\frac{q_L}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L} \ln \frac{R_2}{R_1}}

化简得：

C = \frac{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L}{\ln \frac{R_2}{R_1}}

将电容 $C$ 和电压 $V$ 代入静电储能的公式 $W_e = \frac{1}{2} C V^2$ ，我们有：

W_e = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L}{\ln \frac{R_2}{R_1}} \right) \left( \frac{q_L}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L} \ln \frac{R_2}{R_1} \right)^2

化简得到：

W_e = \frac{q_L^2}{8 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L} \frac{\ln^2 \frac{R_2}{R_1}}{\ln \frac{R_2}{R_1}}

W_e = \frac{q_L^2}{8 \pi \epsilon_0 \epsilon_r L} \ln \frac{R_2}{R_1}

通过以上推导，我们得到了同轴电缆单位长度的静电储能 $W_e$ 与单位长度的电荷量 $q_L$ 、电容 $C$ 和电压之间的关系：

W_e = \frac{q_L^2}{2C}

这是我们所要求的证明。