数学中的向量公式涉及多个方面，包括向量的表示、运算以及应用。以下是一些基本的向量公式，以纯文本形式描述：

向量的表示：

在二维空间中，向量可以表示为 (x, y)。

在三维空间中，向量可以表示为 (x, y, z)。

 

向量的模（长度）：

二维向量 a = (x1, y1) 的模：|a| = 平方根(x1的平方 + y1的平方)。

三维向量 a = (x1, y1, z1) 的模：|a| = 平方根(x1的平方 + y1的平方 + z1的平方)。

 

向量的加法：

两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的和：a + b = (x1 + x2, y1 + y2)。

三维向量的加法类似。

 

向量的减法：

两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的差：a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。

三维向量的减法类似。

 

数乘：

向量 a = (x1, y1) 与标量 k 的乘积：k * a = (k * x1, k * y1)。

三维向量的数乘类似。

 

点积（内积）：

两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的点积：a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

三维向量的点积类似：a · b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。

点积的几何意义：a · b = |a| * |b| * cos(θ)，其中 θ 是两向量之间的夹角。

 

叉积（外积，仅适用于三维向量）：

两个三维向量 a = (x1, y1, z1) 和 b = (x2, y2, z2) 的叉积：a × b = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。

叉积的几何意义：结果是一个向量，其方向垂直于 a 和 b 所在的平面，大小等于 |a| * |b| * sin(θ)。

 

单位向量：

向量 a 的单位向量 u = a / |a|，即方向与 a 相同，长度为 1。

 

向量投影：

向量 a 在向量 b 上的投影长度：|a| * cos(θ) = (a · b) / |b|。

投影向量为：( (a · b) / (|b|的平方) ) * b。

 

向量夹角公式：

两个向量 a 和 b 的夹角 θ 满足：cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)。

 

这些公式是向量运算的基础，广泛应用于几何、物理和工程等领域。