三角函数积分公式大全

一、基本积分公式

∫sin x dx = -cos x + C

∫cos x dx = sin x + C

∫tan x dx = -ln|cos x| + C

∫cot x dx = ln|sin x| + C

∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C

∫csc x dx = ln|csc x - cot x| + C

二、平方关系积分公式
7. ∫sin² x dx = x/2 - (sin 2x)/4 + C
8. ∫cos² x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C
9. ∫tan² x dx = tan x - x + C
10. ∫cot² x dx = -cot x - x + C
11. ∫sec² x dx = tan x + C
12. ∫csc² x dx = -cot x + C

三、乘积积分公式
13. ∫sin mx sin nx dx = sin(m-n)x/(2(m-n)) - sin(m+n)x/(2(m+n)) + C (m≠n)
14. ∫cos mx cos nx dx = sin(m-n)x/(2(m-n)) + sin(m+n)x/(2(m+n)) + C (m≠n)
15. ∫sin mx cos nx dx = -cos(m-n)x/(2(m-n)) - cos(m+n)x/(2(m+n)) + C (m≠n)

四、特殊形式积分公式
16. ∫sec x tan x dx = sec x + C
17. ∫csc x cot x dx = -csc x + C
18. ∫sin³ x dx = (cos³ x)/3 - cos x + C
19. ∫cos³ x dx = sin x - (sin³ x)/3 + C

五、幂函数与三角函数乘积
20. ∫x sin x dx = sin x - x cos x + C
21. ∫x cos x dx = cos x + x sin x + C
22. ∫x² sin x dx = 2x sin x - (x² - 2)cos x + C
23. ∫x² cos x dx = 2x cos x + (x² - 2)sin x + C

六、其他重要公式
24. ∫dx/(a² + x²) = (1/a) arctan(x/a) + C
25. ∫dx/√(a² - x²) = arcsin(x/a) + C
26. ∫√(a² - x²) dx = (x/2)√(a² - x²) + (a²/2)arcsin(x/a) + C

七、倍角公式应用
27. ∫sin² x dx = ∫(1 - cos 2x)/2 dx = x/2 - sin 2x/4 + C
28. ∫cos² x dx = ∫(1 + cos 2x)/2 dx = x/2 + sin 2x/4 + C

八、万能公式替换
令 t = tan(x/2)，则：
sin x = 2t/(1+t²)
cos x = (1-t²)/(1+t²)
dx = 2dt/(1+t²)

九、特殊三角函数积分
29. ∫dx/(sin x) = ln|tan(x/2)| + C
30. ∫dx/(cos x) = ln|sec x + tan x| + C

注：以上公式中的C均为积分常数。