指数分布期望和方差的证明如下：

期望的证明

设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，其概率密度函数为：
f(x) = λe^(-λx)，x ≥ 0

根据期望的定义：
E(X) = ∫x·f(x)dx，积分区间为 0 到 +∞

代入概率密度函数：
E(X) = ∫[0,+∞] x·λe^(-λx) dx

使用分部积分法，令：
u = x，dv = λe^(-λx)dx
则 du = dx，v = -e^(-λx)

分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du
E(X) = [-xe^(-λx)]|[0,+∞] + ∫[0,+∞] e^(-λx) dx

第一项在 x=0 时为 0，当 x→+∞ 时，由于 e^(-λx) 衰减比 x 增长快，也为 0。

因此：
E(X) = ∫[0,+∞] e^(-λx) dx = [-1/λ · e^(-λx)]|[0,+∞] = 0 - (-1/λ) = 1/λ

所以，指数分布的期望 E(X) = 1/λ。

方差的证明

方差公式：Var(X) = E(X²) - [E(X)]²

我们已经知道 E(X) = 1/λ，现在计算 E(X²)：
E(X²) = ∫[0,+∞] x²·λe^(-λx) dx

同样使用分部积分法，令：
u = x²，dv = λe^(-λx)dx
则 du = 2x dx，v = -e^(-λx)

E(X²) = [-x²e^(-λx)]|[0,+∞] + ∫[0,+∞] 2xe^(-λx) dx

第一项在 x=0 时为 0，当 x→+∞ 时也为 0。

因此：
E(X²) = 2∫[0,+∞] xe^(-λx) dx

注意到 ∫[0,+∞] xe^(-λx) dx 正是我们计算期望时的积分（缺少 λ 因子），
而 ∫[0,+∞] xe^(-λx) dx = 1/λ²

所以：
E(X²) = 2 × (1/λ²) = 2/λ²

现在计算方差：
Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = 2/λ² - (1/λ)² = 2/λ² - 1/λ² = 1/λ²

因此，指数分布的方差 Var(X) = 1/λ²。

总结

指数分布 X ~ Exp(λ) 的：

期望 E(X) = 1/λ

方差 Var(X) = 1/λ²