计算圆周率的方法有很多种，从古代的几何法到现代的利用无穷级数和计算机算法。以下是一些主要的方法：

几何近似法（割圆术）
这是中国古代数学家刘徽和祖冲之等人使用的方法。通过计算圆内接正多边形的周长来逼近圆的周长。多边形的边数越多，其周长就越接近圆的周长，从而得到更精确的圆周率值。祖冲之通过这种方法将圆周率精确到小数点后7位。

无穷级数法
微积分发展后，出现了许多利用无穷级数计算圆周率的公式。

莱布尼茨公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
这个公式形式简单，但收敛速度非常慢，需要计算很多项才能得到较精确的值。

马青公式：π = 16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239)
这个公式结合了两个反正切展开，收敛速度比莱布尼茨公式快得多，在计算机发明前曾被用于计算圆周率的多位小数。
arctan(x) 可以用级数展开：arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

拉马努金公式：
由印度数学家拉马努金发现，这个公式收敛速度极快，每计算一项就能得到多位正确的十进制小数。现代计算机计算圆周率的位数纪录常使用拉马努金公式或其变体。

蒙特卡罗方法
这是一种基于随机抽样的概率方法。

在一个边长为1的正方形内，画一个四分之一圆。

向正方形内随机投掷大量点。

计算落在四分之一圆内的点的数量与总投掷点数量的比值。

这个比值应近似等于四分之一圆的面积（即 π/4）。所以，π ≈ 4 * (落在圆内点数 / 总点数)。
投掷的点越多，结果越精确。这种方法概念简单，但计算效率远低于其他数值方法。

现代计算机算法
现代计算圆周率的纪录通常使用更高效的高精度算法。

迭代算法：如高斯-勒让德算法、波尔文-沙尔夫算法等。这些算法具有二次收敛性（每次迭代有效位数大约翻倍），可以快速计算出数亿甚至数十亿位的圆周率。

丘德诺夫斯基公式：这是目前计算圆周率最快的公式之一，被广泛用于打破圆周率计算位数纪录。它也是基于模方程的一个级数展开，收敛速度非常快。

总结来说，计算圆周率的方法经历了从手工几何计算到利用无穷级数，再到现代计算机使用高效迭代算法的演变。计算圆周率的位数和速度也成为衡量计算机计算能力的一个标志。