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分数的导数怎么求?

更新时间:2026-06-14 09:40:41   栏目: 教育

分数的导数可以通过以下方法求解：

对于形如 uv\frac{u}{v} 的函数，其中 uu 和 vv 都是关于 xx 的可导函数，且 v≠0v \neq 0，其导数公式为：

(uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

这个公式称为商法则。具体步骤如下：

计算分子 uu 的导数 u′u'。

计算分母 vv 的导数 v′v'。

代入公式：分子为 u′v−uv′u'v - uv'，分母为 v2v^2。

例如，求 1x\frac{1}{x} 的导数：

设 u=1u = 1，v=xv = x。

u′=0u' = 0，v′=1v' = 1。

代入公式：0⋅x−1⋅1x2=−1x2\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = \frac{-1}{x^2}。

因此，1x\frac{1}{x} 的导数是 −1x2-\frac{1}{x^2}。

注意：在应用商法则时，需确保分母不为零。

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