椭圆的通径长公式?椭圆的通径长公式是怎样的,-教育

椭圆的通径长公式?椭圆的通径长公式是怎样的,

更新时间:2026-06-17 20:15:06 栏目: 教育

椭圆的通径是指通过椭圆的一个焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的线段长度。

对于标准形式的椭圆方程：

当焦点在 x 轴上时，方程为

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

焦点坐标为 $(\pm c, 0)$ ，其中 $c^2 = a^2 - b^2$ 。
取右焦点 $(c, 0)$ ，过该点作长轴的垂线 $x = c$ ，代入椭圆方程：

\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

\frac{a^2 - b^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

1 - \frac{b^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

\frac{y^2}{b^2} = \frac{b^2}{a^2}

y^2 = \frac{b^4}{a^2}

y = \pm \frac{b^2}{a}

因此通径长度为正负 y 值之差的绝对值：

\text{通径长} = 2 \cdot \frac{b^2}{a}

当焦点在 y 轴上时，方程为

\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b > 0)

焦点坐标为 $(0, \pm c)$ ，其中 $c^2 = a^2 - b^2$ 。
取上焦点 $(0, c)$ ，作 y 轴的垂线 $y = c$ ，代入椭圆方程：

\frac{x^2}{b^2} + \frac{c^2}{a^2} = 1

\frac{x^2}{b^2} + \frac{a^2 - b^2}{a^2} = 1

\frac{x^2}{b^2} = \frac{b^2}{a^2}

x^2 = \frac{b^4}{a^2}

x = \pm \frac{b^2}{a}

同样得到通径长为

\text{通径长} = 2 \cdot \frac{b^2}{a}

综上，椭圆通径长公式为：

\text{通径长} = \frac{2b^2}{a}

其中 $a$ 是半长轴， $b$ 是半短轴。